Тензорный анализ и Риманова геометрия - введение

Чтобы понять Общую теорию относительности, надо владеть понятием тензора и знать основы геометрии искривленных пространств. Учитывая, что ни то, ни другое в университетские курсы не входит (по крайней мере, в некоторые), полезно очертить основы для интересующихся. Тензоры применяются в гидродинамике, механике твердого тела, да и вообще: полезно иметь представление.

В программировании одномерный массив иногда называют вектором. Это не совсем корректно, потому что вектор многомерного пространства --- это не просто набор чисел. Вектор --- это некоторый объект, который существует независимо от координатной системы и записывается в выбранных координатах набором чисел; важно, что при преобразовании координат вектор преобразуется совершенно определенным образом. Линейным.

Упрощенно говоря, вектор либо умножается на матрицу преобразования координат, либо --- на обратную к ней. В первом случае это контравариантный вектор, во втором --- ковариантный. Ковариантный, сиречь "так же преобразуемый", преобразуется так же, как базис; контравариантный преобразуется противоположным образом.

Например, скорость --- контравариантный вектор. Она такая, и всё, хотя в разных координатах ее числовая запись может (и будет) различаться. А градиент --- ковариантный вектор.