Что представляет из себя «геометрия Лобачевского» простыми словами?

Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, лучше всего сравнить ее с привычной евклидовой.

Евклид построил первый образец геометрии. Он перечислил основные понятия, вроде «точка», «прямая»… Потом — основные аксиомы, которые принимались без доказательств, настолько они были очевидны. Например: «из любого центра можно описать окружность любым радиусом»; «все прямые углы равны»…

А уж потом из этих аксиом чередой выводил вереницу теорем.

В этой стройной системе была закавыка — один постулат (пять аксиом Евклид назвал постулатами) выглядел неуклюже. Больше двух тысяч лет после Евклида математики пытались показать, что этот постулат лишний; что его можно вывести из остальных аксиом. Кто только этим не занимался: Омар Хайам, Лежандр, Бельтрами, Ламберт…